2021
02.02

これは実に素晴らしい算数の問題だと感嘆した次第である。

らかす日誌

先週末は横浜に行ってきた。璃子の算数を手伝うのが目的である。
私の横浜行きの予定を話したら、

「えーっ、コロナが蔓延しているところへ冒険旅行するの?」

とおっしゃった知り合いも桐生にいらっしゃった。まあ、車で行って、横浜に着いたら家からほとんど出ないのだから、その懸念は当たらない。

で、算数を一緒に勉強してきたのだが、

「よく出来た問題だなあ」

と感心したのがあったので紹介したい。
私が、算数や数学をこのコラムで取り上げると、

「あ、私よく分からないから、あれ、飛ばしたわ」

とおっしゃる読者がいらっしゃることも承知しているが、まあ、このところのネタ不足対策としてお許し願いたい。

何も入っていないふくろAとふくろBがあります。また、1,2,3,……、50というように1から50までの数が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、全部で50枚あります。このうち約数を2こだけ持つ数が書かれたカードをすべてふくろAに入れ、残りのカードのうち、奇数が書かれたカードすべてをふくろBの中に入れました。次の問に答えなさい。

(1)ふくろBの中にカードは何まい入っていますか。

(2)ふくろAから3まいのカードを取り出し、小さい順にア、イ、ウとします。すると次の式がなりたちました。
     ア+イ=ウ
このとき、イに入る数として考えられるものをすべて答えなさい。

(3) (2)のあと、ア、イ、ウのカードをふくろAの中にもどし、今度はふくろAの中から4枚のカードを取り出し、小さい順にカ、キ、ク、ケとします。また、ふくろBの中から2まいのカードを取り出し、小さい順にサ、シとすると、次の式がなりたちました。
     カ×キ×ク×ケ=サ×シ
サ、シに入る数として考えられる組み合わせをすべて答えなさい。答え場(サ、シ)の順で書きなさい。なお、解答らんはすべて使うとはかぎりません。

璃子の塾で出た試験問題である。璃子は時間が足りず、この問題には手をつけなかったらしい。自宅に戻って解こうとしても難しくてどこから始めたらいいものか、途方に暮れて私にお鉢が回ってきた。

小学校4年生が解く問題である。私に出来ないはずはない、と軽く考えた。それなのに問題文を頭から読みながらしばし、私も途方に暮れた。これ、どう扱ったらいいの?

「あ、そうか」

と気がつくまでにかかった時間は数秒だったか、あるいは数分だったか、はっきりした記憶はない。気がついて、よく出来た問題だと感心した次第である。

キーワードは「約数を2こだけ持つ数」である。こんな数を素数という。
だが、素数について習うのは、

「1と自分自身以外に約数を持たない数」

というのが一般的だ。私もそう教わった記憶がある。だから、そう書いてあれば、誰もが素数であると気がつくだろう。しかし、少し表現を変えて「約数を2こだけ持つ数」と書いてあるので、

「そんな数ってあったっけ?」

と瞬時迷ってしまう。いや、みんなが迷うかどうか分からないが、私は迷った。多分、璃子もここで迷ったのだと思う。

この関門を突破すれば、(1)は簡単に解ける。まず1から50までの素数を書き出し、そこに含まれなかった奇数の数を数えれば良い。(2)も、書きだした素数を見ながら、足し算をすればイに入る数はすぐに分かる。

問題は(3)である。素数を4つ掛けた答と、素数ではない奇数を2つ掛け合わせた答が同じになる。えーっ、すべての素数を4つずつ掛け合わせて、奇数2つの積と同じになるのを見つけるの? そんな時間ねえよ! 当初、私もそう嘆息した。

だが、これも問題の中にヒントがきちんと書かれていることに気がつくまでの話だ。
「約数を2こだけ持つ数」とは、1とその数自身でしか割れない数、つまり素数である。ということは、素数を四つ掛け合わせると、1は無視してよく、素数を4つ掛け合わせることになる。
一方、素数でない奇数は、すべて素数の積で表すことが出来る。ということは、ふくろBに入っている数をすべて素因数分解し、2つの積がダブらない素数4つで表せる組み合わせを見つければ良い。

つまり、この問題は、素数という数の性格、そして素因数分解とは何をすることなのかを正しく理解していれば難なく解くことが出来るのである。

数というものの性格を追究する数論は、いまでも数学者を惹きつける研究対象である。その中の一分野である粗数も、素数の分布、素数は幾つあるのか、など歴代の数学者を悩ませてきた。
その分野に小学4年生を導く。素数についての正確な理解を植え付ける。この問題は、そうした意味で極めてよくで来ていると私は思う。

「素数とはどんな数ですか?」

と問われれば、多くの小学生が

「1とその数でないと割れない数です」

と答えるだろう。
だが、それだけ知っていてもこの問題は解けない。「1とその数でないと割れない数」が素数であることを見抜き、素数以外の数は必ず素数の積として表せることを結びつけなければ正解に至らない。一知半解では太刀打ちできず、知識を総合的に組み合わせなければ〇をもらえない問題である。

そのように私は感じ、そのように璃子に教えたつもりである。璃子は理解してくれたかな?

足のしもやけがなかなか治らない。指先の方は随分良くなったが、かかとに出来た奴らがしつこい。困るのは、靴を履くとちょうどこの部分に靴が触れ、ピリリと傷むことである。履いてしまえば、それほど痛みは感じなくなるのだが。
治療薬を患部に塗り、血行を良くしようとビタミンEの服用を始めた。まあ、まだ飲み始めて1週間たたない程度だから、血行がどの程度良くなったのかはまだ測れない。そのうち良くなるだろう!
それとも、春が来て自然治癒する方が先なのかな?

71歳の老体と闘う私であった。